Potential topics for undergrads

In my most recent post I mentioned about two programs for undergrads at UChicago. Last quarter I did another DRP about elementary number theory. Originally, I intended to suggest a more advanced topic such as algebraic number theory (eg one can try to learn the proof that the class group of a number field is finite.) My student was not a math major and he did not take any algebra courses so elementary number theory was a good topic to start. His performance was quite impressive; even though at the beginning he did not really know how to write a proof.

I learned recently that HUS also made a list of potential topics for students who wanted to write a senior thesis. I think it is a good idea and should be continued.

I thought about several topics that I can suggest to undergrads. “Can” does not mean that I understand these topics as thoroughly as I understand linear algebra. It means that even though my understanding is not complete, I probably can shed some insights to students. I list these topics here so that I can use them when I need. I will probably update/change this list as time goes.

For beginning students.

• Abstract linear algebra/ inner product spaces.
• p-adic analysis (in comparison with real analysis.)
• Continued fractions and their applications to Diophantine approximations as well as Pell’s equations (Prof. Greenberg gave an excellent course on this topic).
• Modules over PIDs and applications.
• Introduction to analytic number theory.

For advanced students.

• Hasse-Minkowski’s principle. A good reference for this topic is chapter 2 of the book “Number theory 1: Fermat’s dream”.
• A proof of quadratic reciprocity using the machinery of algebraic number theory. A good reference for this is Pierre Samuel’s book “Algebraic theory of numbers”.
• Kummer’s proof of FLT in special cases.
• Coleman’s power series and p-adic Riemann zeta function. A good reference for this topic is Coates-Sujatha’s book “Cyclotomic fields and zeta values”.
• Lubin-Tate formal groups. A good reference might be Iwasawa’s book on local class field theory. I wish to read this book in the future.
• Etale phi-modules. A good reference is chapter 2 of Fontaine-Ouyang’s book “Theory of p-adic representations”.
• Etale (phi, gamma) modules. A good reference is chapter 4 of the above book of Fontaine-Ouyang.
• Mazur’s control theorem. A good reference for this is Prof. Greenberg’s article “Introduction to Iwasawa theory for elliptic curves”.

There are also intermediate/beyond topics that one can suggest (e.g Galois theory, Galois cohomology, some easier topics in p-adic Galois representations etc). The above topics are the ones that I feel comfortable to advise.

Tung

P/S: I would like to apologize for the inconvenience of writing in English. I find it “ugly” to constantly insert English words into an essay in Vietnamese. I avoid this “ugliness” by writing this entry in English (!).

 

 

 

 

 

Advertisement

Về hai chương trình dành cho SV Toán ở ĐH Chicago

Năm học vừa rồi tôi có tham gia vào hai chương trình dành cho SV Toán ở Chicago. Tôi muốn chia sẻ một vài kinh nghiệm của mình dựa trên một vài quan sát cá nhân.

Hai chương trình mà tôi muốn nói tới là chương trình Directed Reading Program và chương trình Research Experience for Undergraduates

I) Chương trình Directed Reading Program.

Chương trình này hoàn toàn do nghiên cứu sinh của Khoa Toán điều hành (từ việc thiết kế chương trình tới việc tham gia hướng dẫn sinh viên.) Tất nhiên tài chính là do Khoa Toán tài trợ. Trong chương trình này, sinh viên (mentee) sẽ được ghép để học cùng với một nghiên cứu sinh (mentor). Việc ghép cặp này dựa trên nguyện vọng của cả hai phía. Thường thì nghiên cứu sinh sẽ chọn đề tài trong chuyên ngành của mình để giao cho sinh viên. Cách thức học phổ biến nhất là nghiên cứu sinh sẽ chọn một đề tài và gợi ý một số tài liệu cho sinh viên đọc. Phải nói thêm rằng việc chọn là tự nguyên; khó hay dễ phụ thuộc vào background của sinh viên cũng như khả năng của NCS. Sau khi thống nhất xong đề tài, sinh viên sẽ phải gặp mentor của mình ít nhất một lần một tuần. Trong buổi gặp đó, sinh viên trình bày những kiến thức mình đã học được từ tuần trước đồng thời hỏi một số vấn đề mà mình còn băn khoăn. Sau đó mentor sẽ gợi ý những topic cần học trong tuần tiếp theo. Cuối chương trình, SV sẽ phải báo cáo kết quả của mình trong khoảng 15 phút cho toàn hội đồng.

Năm vừa rồi tôi có hướng dẫn một bạn sinh viên học về Lí thuyết số sơ cấp (Elementary Number Theory.) Sở dĩ tôi bạn sinh viên của tôi chọn đề tài này vì bạn ấy này có một cuốn sách lí thuyết số và bạn ấy muốn đọc cuốn sách đó cho đỡ phí :-). Cuốn sách này hồi đại học tôi cũng đã đọc qua nên tôi đồng ý luôn. Việc hướng dẫn này khá thú vị. Có một chuyện vui là lúc bắt đầu bạn sinh viên này không biết so sánh hai số tự nhiên! Chẳng hạn bạn ấy biết 1290 thì lớn hơn 987 nhưng khi tôi hỏi tại sao lại vậy thì bạn ấy không biết. Tất nhiên sau này khi bọn tôi đã học biểu diễn số trong các hệ cơ số thì bạn học sinh này có thể chứng minh mệnh đề trên một cách chặt chẽ.

Tôi thấy một chương trình như vậy thì hơi khó áp dụng ở Việt Nam vì nó diễn ra trong năm. Ở Việt Nam thì mỗi kì sinh viên phải học khá nhiều môn (khoảng 6-7 môn thì phải)  nên thời gian tự học cũng không nhiều lắm.

II) Chương trỉnh REU

Mục tiêu/ phương thức hoạt động của chương trình đã được viết rõ ràng trên trang web rồi nên tôi không nhắc lại nữa. Tôi chỉ nhấn mạnh một ý là chương trình REU ở Chicago hơi khác với các chỗ khác một chút là nó thiên về học sâu kiến thức hơn là làm các nghiên cứu nhỏ.

Có hai chương trình con chạy song song trong chương trình REU này: một dành cho các bạn sinh viên mới bắt đầu học Toán (thường là năm nhất); một dành cho các bạn “advanced” hơn. Tôi tham gia chương trình đầu tiên nên tôi sẽ chỉ nói về chương trình đó.

Cũng như chương trình DRP, sinh viên cũng được hướng dẫn bởi các NCS ở Khoa. Tuy nhiên ngoài việc gặp và học cùng mentor sinh viên còn có thể tham gia các khóa học do các GS trong khoa trực tiếp giảng day về rất nhiều chủ đề trong Toán.

Cách chọn đề tài của hai sinh viên của tôi khá khác nhau. Một bạn tự chọn đề tài (về “singular value decomposition) cho mình; chúng tôi tìm tài liệu và gặp nhau trao đổi hàng tuần. Phần ứng dụng của đề tài (low rank approximation problem) cũng là do tự bạn sinh viên chọn. Bạn thứ hai thì khác, đề tài (Gaussian integers) là do tôi gợi ý. Chúng tôi không dùng tài liêu nào cả; thay vào đó tôi gợi ý bạn sinh viên đó chứng minh mọi thứ từ đầu xuất phát từ các kết quả đã biết trong Z. Chẳng hạn trong Z, một số có tình chất phân tích duy nhất ra thừa số nguyên tố. Trong Z[i] điều này có đúng không? Hoặc trong Z có khái niệm đồng dư, định lí Euler, định lí về căn nguyên thủy; trong Z[i] thì sao? Chuyên ngành của tôi là Lí thuyết số nên tôi có nhiều câu hỏi cho bạn thứ hai hơn.

Cuối chương trình sinh viên phải viết một báo cáo nhỏ dài chường 15 trang để tổng kết những gì đã học. Viết lại những gì mình đã học, theo tôi là một cách rất tốt để hiểu sâu và cặn kẽ hơn vấn đề.

Liêu một chương trình như vậy có thể thực hiện ở Việt Nam không? Tôi tin là hoàn toàn có thể nếu có kinh phí và quyết tâm. Thực tế là việc này cũng được thực hiện ở Khoa Toán ĐHKHTN thông qua việc viết khóa luận tốt nghiệp. Tuy nhiên tôi nghĩ việc tự học này có thể bắt đầu sớm hơn vì  việc được học những chủ đề thú vị; được học cách viết báo cáo; cách đặt vấn đề chắc chắn sẽ kích thích lòng say mê học Toán của sinh viên ngay từ những năm đầu tiên trên giảng đường.

 

 

 

While working on my note

A note by Professor Kodaira. This note was translated by Florian Sprung.

Click to access kodairanotebook.pdf

Thành viên mới

Updated 5/7/2017: Hai bạn Khánh và Xuân đều dành được học bổng ở Lyon và Paris để tiếp tục học lên PhD. Chúc mừng hai em.

Các bạn sau đã đồng ý tham gia vào nhóm blogger (thông tin liên lạc xem mục nhóm blogger).

1. Nguyễn Đức Khánh- K55 CNTN.

Bạn Khánh dự kiến sẽ qua ENS Lyon học master chuyên ngành Đại số-Hình học-Topo.

2. Trần Văn Độ- K55 CNTN Toán.

Bạn Độ dự kiến sẽ qua Duke làm PhD.

3. Vũ Thị Xuân.

Bạn Xuân dự kiến qua ENS Lyon học Master về Computer Science.

Kiến thức chuẩn bị và nội dung các khóa học năm đầu ở Khoa Toán- Chicago

Mình trích lại email Prof. Peter May gửi về các kiến thức Toán cần biết trước khi qua học, cũng như nội dung các môn học trong năm học tới. Mình nghĩ nó sẽ bổ ích cho các bạn khóa sau.

———————

Undergraduate prerequisites, summarized, with recommended texts,

Linear Algebra (Hoffman and Kunze)

Multivariable Calculus (Marsden and Tromba)

Point-set topology, fundamental group, and covering spaces
(Massey, Munkres, or Hatcher [or something more modern :)])

Galois Theory (Dummit and Foote, parts 1-4)

Lebesgue Integration (H.S. Bear)

Basic differential topology (Guillemin and Pollack)

%%%%%%%%%%%%%%%%%

Analysis:

Prerequisites:

1) Construction of Lebesgue measure on the line and in R^d. Abstract
measure theory: (sigma) algebras, (outer) measures, characterization of
measurable sets, integration, integral convergence theorems (Fatou,
monotone, dominated), product measures, Fubini

2) multivariable calculus, linear algebra, contraction mapping principle,
existence and uniqueness of solutions to initial value problem for ODEs 3)
basic complex analysis: holomorphic functions, Cauchy integral formula,
power series

Suggested references:
Marsden, Tromba: Vector Calculus
H. S. Bear: A primer of Lebesgue integration
Gelfand: Lectures on Linear algebra
Bak, Newman: Complex analysis, first 6 chapters

312. Analysis I:   Real Analysis and Probability – Hilbert and Banach spaces,
projections, Fourier transform, differentiation theory, convex sets and the
Hahn Banach theorem, Baire category, open mapping theorem, uniform
boundedness principle, introduction to probability theory, sums of
independent variables, weak and strong law of large numbers, central limit
theorem, conditional expectation, martingales, Brownian motion, relation
with harmonic functions, Hausdorff measure.

313. Analysis II:   Functional analysis and PDEs – weak convergence, Alaoglu
theorem, bounded and compact operators, spectral theorem for compact
selfadjoint operators, Sturm-Liouville theorem, unbounded operators,
Frechet spaces and the theory of distributions, Sobolev spaces, elliptic
partial differential equations, Dirichlet problem, Perron method, Fredholm
alternative.

314. Analysis III:   Complex Analysis and Topics in Analysis – fractional
linear transformations and the Riemann sphere, Cauchy theorem in the
homological formulation and its consequences (Liouville’s theorem, open
mapping theorem, maximum modulus principle, argument principle,
Rouch{\’e}’s theorem), meromorphic functions, Mittag-Leffler theorem, the
concept of a Riemann surface, uniformization, the Riemann-Hurwitz formula,
elliptic functions, holomorphic and harmonic differential forms. Further
topics.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Topology/geometry:

Syllabus:

317. Topology and Geometry I:    Algebraic Topology – A review of the
fundamental group, covering space theory and Van Kampen’s theorem
(with a discussion of free and amalgamated products of groups);
homology theory (singular, simplicial, cellular), cohomology theory,
Mayer-Vietoris, cup products, Poincare Duality, Lefschetz fixed-point
theorem; some homological algebra (including the Kunneth and universal
coefficient theorems), higher homotopy groups, Whitehead’s theorem, exact
sequence of a fibration, obstruction theory, Hurewicz isomorphism theorem.
PQ: undergraduate analysis, algebra, and (preferably) topology.

318. Topology and Geometry II:   Differential Topology – Smooth
Manifolds. Definition of manifolds, tangent and cotangent bundles,
vector bundles. Inverse and implicit function theorems. Sard’s theorem
and the Whitney embedding theorem. Degree of maps. Vector fields and
flows, transversality, and intersection theory. Frobenius’ theorem,
differential forms and the associated formalism of pullback, wedge
product, integration, etc. Cohomology via differential forms, and the
de Rham theorem. Further topics may include: compact Lie groups and
their representations, Morse theory, cobordism, and differentiable
structures on the sphere.
PQ: Math 317.

319. Topology and Geometry III:  Differential Geometry – Riemannian
metrics, connections and curvature on vector bundles, the Levi-Civita
connection, and the multiple interpretations of curvature. Geodesics
and the associated variational formalism (formulas for the 1st and 2nd
variation of length), the exponential map, completeness, and the
influence of curvature on the topological structure of a manifold
(positive versus negative curvature). Lie groups. The Chern-Weil
description of characteristic classes, the Gauss-Bonnet theorem and
possibly the Hodge Theorem. PQ: Math 318.

Agreed on changes of prerequisites:

1) to add as an explicit prerequisite for 317 the sentence “Previous
exposure to the fundamental group and covering spaces would be very
helpful”, and to change the wording in the syllabus to “A review
of the fundamental group and covering space theory”; and

2) that multivariable calculus should be added as an explicit
prerequisite to 318.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

 

Algebra

325. Algebra I: Representation Theory – Representation theory of finite groups, including symmetric groups and finite groups of Lie type; group rings; Schur functors; induced representations and Frobenius reciprocity; representation  theory of Lie groups and Lie algebras, highest weight theory, Schur–Weyl  duality; applications of representation theory in various parts of mathematics.

326. Algebra II: Commutative Algebra and Algebraic Geometry – This course will explain the dictionary between commutative algebra and algebraic geometry. Topics will include the following. Commutative ring theory: Noetherian property; Hilbert  Basis Theorem; localization and local rings; etc. Algebraic geometry: affine and projective varieties, ring of regular functions, local rings at points, function  fields, dimension theory, curves, higher-dimensional varieties.

327. Algebra III: Topics in Algebra – According to the inclinations of the instructor, this course may cover: algebraic number theory; homological algebra; further topics in  algebraic geometry and/or representation theory.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Here are some things that everybody should know and that will not be
taught in the courses, off the top of my head:

1) Basic linear algebra, up through (say) Jordan canonical forms.
2) Basic theory of rings, modules, and algebras (at least the
definitions and basic examples)
3) Multilinear algebra and tensor products
4) Basic group theory, at least up to the Sylow theorems
5) Galois theory

 

 

 

Du học ngành Toán ở Pháp

Thông tin chung 

Ở Pháp hàng năm có rất nhiều du học sinh Việt Nam sang học, cả bậc đại học lẫn thạc sĩ hay tiến sĩ. Sinh viên sang Pháp học đại học và thạc sĩ đa phần là tự túc, vì chi phí bên Pháp khá rẻ so với các nước phát triển khác. Về căn bản, nếu bạn được một trường công bên Pháp nhận thì bạn sẽ không phải đóng học phí (ở Pháp việc đi học là miễn phí) bạn chỉ phải đóng phí nhập học đầu năm khoảng 250 euros, bảo hiểm bắt buộc khoảng 250 euros/ năm (bảo hiểm này sẽ chi trả 70% số tiền thuốc và khám bệnh chữa bệnh của bạn, còn 30% còn lại sẽ thuộc loại bảo hiểm không bắt buộc.) Môi trường học ở Pháp cũng rất thân thiện, chi phí sinh hoạt thuộc tầm trung vì chính sách xã hội của Pháp rất tốt. Ở Pháp, người dưới 25 tuổi sẽ được hỗ trợ đủ thứ. Ví dụ, đi lại bằng phương tiện công cộng (bus, metro, tram) chỉ mất 10 euros/tháng trong khi đó giá bình thường là 145 euros, tiền nhà khoảng 450 euros/tháng nhưng nhà nước sẽ hỗ trợ ít nhất một nửa nếu bạn nộp hồ sơ xin CAF (ai cũng có thể làm và ai cũng sẽ được hỗ trợ.) Đồ ăn cũng không quá đắt đỏ, sinh viên mình thường chi khoảng 150 euros đến 200 euros/ tháng cho việc ăn uống.

Để đăng kí học ở Pháp thì các thủ tục cũng khá nhiều. Trước tiên bạn phải học tiếng Pháp, cho dù bạn có qua đó học chương trình bằng tiếng Anh. Mức độ tiếng Pháp cho người sang học bằng tiếng Anh là A2 và cho người học bằng tiếng Pháp là B1 hoặc B2. Các thủ tục như viết SOP, CV, Bảng điểm v.v đều phải làm qua Campusfrance (vietnam.campusfrance.org), kể cả khi bạn đã được nhận học bổng rồi. Đây là hệ thống quản lý bởi đại sứ quán Pháp. Tất cả học sinh, sinh viên muốn qua Pháp học đều phải gửi hồ sơ thông qua Campusfrance (kể cả trường hợp hồ sơ đã gửi trực tiếp qua trường rồi thì vẫn phải gửi lại cho Campusfrance). Bên đại sứ quán sẽ xem được mọi hồ sơ thông tin của bạn qua đây và họ sẽ quyết định visa của bạn. Hồ sơ của bạn sau đó sẽ được Campus chuyển sang cho trường mà bạn chọn. Trường này sẽ trả lời về việc đồng ý hay không đồng ý nhận bạn cũng qua Campusfrance luôn. Việc đăng kí thi TCF để lấy bằng tiếng Pháp, đăng kí phỏng vấn Campus cũng đều được làm qua hệ thống này. Thường thì bạn phải hoàn thành hồ sơ Campusfrance trước tháng 4, đăng kí phỏng vấn Campusfrance (thay cho phỏng vấn visa sau này) trước tháng 6. Tuy nhiên bên Campusfrance cũng có trường hợp đặc biệt (thường cho các bạn có học bổng), những trường hợp này được phép làm các thủ tục không cần theo các deadline trên.

Xin học bổng học tại Pháp

Theo mình được biết thì học bổng bậc đại học ở Pháp khá ít, nhưng bậc Master sẽ nhiều hơn đặc biệt cho các ngành khoa học. Để có được các thông tin học bổng, các bạn phải tự vào trang chủ của trường hoặc của khoa mà bạn muốn học, hoặc là qua các anh chị và thầy cô giới thiệu thông tin. Thường thì học bổng Pháp ít khi được lên các trang thông báo học bổng. Các học bổng thường có hạn rơi vào khoảng từ cuối tháng 1 đến cuối tháng 4, tùy trường và tùy vùng. Các giấy tờ được yêu cầu không khác gì với các nước khác, chỉ có điều họ không yêu cầu giấy tờ bằng tiếng Anh hay tiếng Pháp. Điều quan trọng nhất của một hồ sơ xin học bổng Pháp là thư giới thiệu. Ví dụ như với trường mình đang học, các giáo sư không “tin tưởng” hoàn toàn vào điểm số trong bảng điểm của bạn, họ tin vào những gì được viết trong thư hơn. Nếu bạn có thư thật mạnh thì việc xin học không khó và các giấy tờ khác cũng không quan trọng nữa.

Ngoài cách nộp trực tiếp như mình, sinh viên muốn nộp học bổng qua Pháp cũng có những con đường khác. Ví dụ, bên Viện toán có chương trình cao học quốc tế trong đó sinh viên sẽ học năm đầu (gồm Toán và tiếng Pháp) ở Viện Toán. Nếu học tốt, các thày bên Viện sẽ giới thiệu sang Pháp (hoặc các nước khác) để học tiếp M2. Vì bên viện các thầy có mối quan hệ rất tốt với các trường bên Pháp, nên sinh viên theo chương trình này đa phần đều nhận được học bổng để học tiếp M2  cả.

Hồ sơ của mình thì cũng không có gì đặc biệt: không có công trình nghiên cứu khoa học, điểm tổng kết 3.32, thư giới thiệu của thầy Lê Minh Hà và thầy Lưu Hoàng Đức-thày hướng dẫn mình. Do không phải là một hồ sơ mạnh nên mình chỉ gửi vào các trường tầm trung ở châu Âu và châu Á. Mình nộp và Paris 13 theo học bổng Ile de France, University Paul Sabatier theo CIMI, Pohang University of Technology-POSTECH (Hàn Quốc), Nanyang Technology University (Singapore), Risk and Emergency Management-Understanding and Managing Extreme Graduate School (Ý), Polytechnic University of Milan và học bổng DAAD bên Đức. Cuối cùng thì kết quả cũng không tốt lắm. Mình được nhận vào CIMI (mà theo mình là do mình có support lớn từ thầy Tiến Zũng, mặc dù thầy không viết thư cho mình), REM-UME và chỉ được nhận ở Milan mà không có học bổng. Với POSTECH, giáo sư nhận mình nhưng do ngành học ở POSTECH mình không ưng lắm nên mình không theo học nữa.

Mình chọn CIMI và bắt đầu làm hồ sơ Campusfrance (bao gồm điền hồ sơ điện tử, đăng kí thi TCF) từ cuối tháng 4. Mình học tiếng Pháp từ 30/4 đến 25/5, sau đó thì thi TCF. Thi xong, mình lên đăng kí phỏng vấn Campus (mình phỏng vấn bằng tiếng Anh do bên kia họ không yêu cầu tiếng Pháp.) Việc làm hồ sơ Campus cũng không mất mấy thời gian do mình đã có sẵn giấy tờ chỉ việc copy và paste vào thôi. Lúc làm các thủ tục cần thiết này, lần đầu nên mình cũng rất lo sợ không qua các vòng. Nhưng cuối cùng thì mọi chuyện diễn ra thật nhẹ nhàng, đúng như các anh chị đi trước bảo, có học bổng rồi tất cả chỉ còn là thủ tục!

Học bổng M1 của mình được 600 euros/tháng, với số tiền này cũng đủ chi tiêu hàng tháng và mua vé máy bay về + quay lại. Với M2, học bổng sẽ là 1000 euros/tháng, lúc này sẽ thoải mái hơn, hầu như các anh chị đều có thể đi chơi loanh quanh châu Âu.

Việc học tập tại Pháp

Các kiến thức học một học kỳ của Pháp khá là nhiều. Việc thi cử yêu cầu bạn phải hiểu hết những gì được giảng trên lớp. Đề thi yêu cầu hiểu lý thuyết để áp dụng vào bài thực tế, đôi khi bạn phải biết các kỹ thuật chứng minh ở các định lý đã học mới làm được bài. Đề thi thường là một bài toán hoặc định lý lớn, các câu hỏi nhỏ trong bài thường là các bước chứng minh định lý đó, nếu bạn không làm được câu trước bạn sẽ không làm được câu sau. Đôi khi bạn không làm được câu a, nhưng câu b áp dụng câu a bạn lại làm được, tùy thầy giáo, có người sẽ không cho bạn điểm câu b vì theo các giáo sư thì bạn không làm được câu a thì không hiểu nó được và không thể cho bạn điểm câu b. Việc đạt điểm cao khá khó ở Pháp, điểm loại tốt rơi vào khoảng 14/20. Các giáo sư bên Pháp không đánh giá bạn tất cả qua điểm số mà họ sẽ nhìn vào thứ hạng của bạn trong lớp và sự thể hiện của bạn trong suốt học kì. Với trình độ master trở lên, các giáo sư yêu cầu sinh viên phải tự học và tìm hiểu thêm ngoài những gì được học trên lớp. Tương đương với 1 giờ trên lớp, sinh viên sẽ phải học 4 giờ tự học. Từ bậc Master muốn xin tiếp PhD, bạn phải đạt ít nhất top 2 trong lớp.

Hà Nội ngày 3/6/2014.

Nguyễn Thị Thu Hằng.

Học bổng PhD ngành Toán ở Mỹ

Trong bài này, mình muốn chia sẻ những kinh nghiệm ít ỏi của mình trong việc nộp hồ sơ cho các chương trình PhD về toàn ở Mỹ. Mình nộp 11 trường. Được 4 trường nhận là UCSD, UCI, Univ of Arizona và UChicago (đẩy lên từ waitlist). Bị 6 trường từ chối là Columbia, UCLA (wait-list), Caltech, Stanford, Wisconsin (wait-list) và Maryland. Trường Emory thì mình xin rút hồ sơ sau khi nhận được offer từ UC Irvine và Arizona. Cuối cùng chọn Chicago vì đó là vừa là trường rất tốt về Toán.

Việc nộp đơn xin học bây giờ khá đơn giản, vì đều làm online. Hạn nộp thì tùy từng trường, nhưng thường rơi vào khoảng từ 15/12  năm bạn nộp tới đầu tháng 2 năm tiếp theo.  Bạn phải hoàn thành hồ sơ trước deadline. Sau deadline, trong đa phần trường hợp, hồ sơ của bạn sẽ không được xem xét.

Vậy bạn cần gì trong hồ sơ của mình nộp cho trường? Bạn có thể tìm thấy một phần câu trả lời trong phần dưới đây.

Trước hết, mình xin phép chia sẻ hồ sơ của mình được copy lại từ một trang web khác.

Undergrad Institution: KHTN Hà Nội
Major(s): Mathematics
GPA: 3.83
Type of Student: International

GRE Revised General Test:
V: 149 (40 %)
Q: 164 (89 %)
W: 3.5 (35 %)
GRE Subject Test in Mathematics:
M: 880 (93 %)

TOEFL Score: (99 = R 27 /L 28 /S 20 /W 24 ) (if applicable)

Program Applying: Pure Math

Research Experience: A senior thesis, some summer schools in number theory and algebraic curves.

Awards/Honors/Recognitions:  Honda YES, Student Research Workshop.

Pertinent Activities or Jobs: TA for 2 semesters.

Nhìn vào hồ sơ trên, mình nghĩ các bạn cũng có thể mường tượng được những thứ mà bạn phải có. Cụ thể hơn thì như sau.

1) Bảng điểm (GPA).

Nói chung thì điểm Đại học của bạn không ảnh hưởng quá nhiều đến việc bạn có được nhận hay không. Nhưng cố gắng đừng để thấp quá, vì có thể bạn sẽ không qua được vòng screening hoặc gây ấn tượng xấu lên hội đồng tuyển sinh.

2) GRE general.

Cái này theo cảm giác của mình là chỉ cần không quá thấp để qua vòng screening là được. Qua vòng screening thì người ta  không quan tâm quá nhiều tới nó nữa thì phải.

Thi GRE thì thực sự khá vất vả vì phải nhớ nhiều từ. Để cải thiện vốn từ, thì nên  tích lũy càng sớm càng tốt. Cách tốt để tăng vốn từ của mình là thường xuyên đọc các bài báo hoặc sách bằng tiếng Anh. Bản thân mình rất thích hai  trang web sau

+ Scientific American:

Các bài viết phổ biến khoa học. Vừa học tiếng Anh, vừa học thêm nhiều kiến thức bổ ích.

+ The economist:

Có rất nhiều từ GRE phổ biến.

Ngoài ra có nhiều tờ báo khác như NYTimes, New Yorker, BCC NEWS v.v. Nói chung việc đọc báo nào tùy thuộc vào mối quan tâm của bạn. Mình thích đọc những thứ liên quan tới khoa học nên chọn hai trang ở trên.

Ngoài ra đọc các sách tiếng Anh cũng là một cách tốt để bổ sung vốn từ. Mình rất thích quyển “Surely you are joking Mr. Feynman”. Mình nghĩ các bạn cũng sẽ thích quyển này (surely I am NOT joking!).

Tất nhiên, biết từ là một chuyện, để thi tốt thì kĩ năng làm bài cũng quan trọng. Trang web sau đây cho bạn rất nhiều gợi ý về cách học và cách làm bài thi GRE.

http://magoosh.com/gre/

GRE general tổ chức khá thường xuyên, hình như một tháng một lần.

3) GRE subject.

Như trên, nhưng đối với ngành toán thì quan trọng hơn. Kinh nghiệm thi subject của mình là ngồi đọc lại mấy quyển giáo trình hồi đại học. Khoảng 5-6 tháng trước khi thi, mình có làm TA môn Đại số đại cương nên phần này không phải xem lại mấy. Phần Topology thì cũng đơn giản. Phần Calculus chiếm nhiều điểm nhất và cũng là phần có phổ câu hỏi rộng nhất nên cần được ôn kĩ. Lúc thi có gặp mấy câu tương tự với mấy câu hỏi trong phần project của quyển giáo trình 🙂.

Sách học thì chắc chỉ có mỗi quyển Cracking The Math Subject Test. Quyển này bạn có thể dễ dàng tìm trên mạng (nếu cần, gửi thư cho mình ở địa chỉ nguyenthotung[AT] gmail [DOT]com.)

GRE subject một năm chỉ tổ chức 3 lần, vào các tháng 4, 10,11. Nhiều người đăng kí thi 2 lần vào tháng 10 và tháng 11. Mình nghĩ nếu bạn muốn chắc chắn thì cũng có thể làm như vậy. Hồi trước mình chỉ thi một lần vào tháng 11, vì không đăng kí kịp cho đợt tháng 10.

Chỉnh lại: Lịch thi có thay đổi theo từng năm nên để chắc chắn mọi người xem lại trên trang web của ets.

4*)  TOEFL/IELTS

Một số bạn chắc sẽ rất ngạc nhiên khi mình cho điểm TOEFL quan trọng hơn GRE. Mình xin giải thích ngay rằng, ý ở đây của mình là điểm speaking. Nếu bạn nộp tự do thì điểm speaking rất quan trọng; đặc biệt nếu trường muốn bạn làm TA ngay trong kì đầu tiên. Nói chung mức độ quan trọng của điểm speaking phụ thuộc rất nhiều vào chính sách của từng trường. Có trường rất khắt khe đối  với điểm speaking (Maryland, UW in Seattle, Boston University, Minnesota chẳng hạn). Có những trường lại khá thoải mái (như Chicago chẳng hạn).  Nếu bạn có VEF, hoặc được Giáo sư trong khoa đảm bảo, thì điểm TOEFL không còn quá quan trọng nữa.

Điểm speaking của mình khá tệ, được có 20/30. Thày Greenberg có bảo cố gắng được 22-23 mà mình cố mãi mà không được! Lúc bị trượt Maryland, Thày hỏi bạn của Thày, là Graduate Director ở đó thì ông ý bảo là điểm  speaking mà dưới 23 thì đa phần là bị loại ở vòng screening. Tất nhiên việc bị Maryland loại cũng một phần do hồ sơ của mình chưa đủ mạnh, nhưng mình nghĩ một phần không nhỏ là do speaking tệ quá.

Lời khuyên của mình là nếu bạn nộp tự do, không quen biết ai trong khoa thì cố gắng hết sức để nâng điểm speaking. Thay vì cày cuốc để nâng điểm GRE general thì mình nghĩ nên dành thời gian đó để nâng điểm speaking.

Các bạn có thể học một số tips cho phần speaking của TOEFL ở trang

https://www.notefull.com/

Một số trường, ngoài kiểm tra điểm TOEFL của bạn, họ còn phỏng vấn bạn (qua skype, điện thoại) để đảm bảo rằng bạn có thể làm TA được. Do đó, ngoài chuyện luyện thi, bạn cũng cần rèn luyện kĩ năng giao tiếp bằng tiếng Anh.

Ngoài ra, phần listening của TOEFL cũng khá khó.  Để cải thiện khả năng nghe thì cách duy nhất là nghe nhiều và thường xuyên. Ngày nay, với internet, bạn có rất nhiều nguồn để luyện nghe. Bản thân mình thích các chương trình của CNN vì nó đa dạng và có American Accent. Youtube cũng cho bạn nhiều bài nghe thú vị.  Nếu bạn mới bắt đầu học tiếng Anh, thì có thể bắt đầu với VOA NEWS.

TOEFL thì tổ chức khá nhiều, hình như mỗi tuần một lần.

5) Statement of purpose

Đây là một phần quan trọng của hồ sơ. Nó giúp bạn tạo cơ hội cho hội đồng tuyển chọn biết bạn là ai. Mình thấy nhiều bạn trong SOP viết quá nhiều về các kết quả nghiên cứu của mình, là cái các GS đã biết. Cái họ cần hơn là thông tin về bạn (bạn đã trưởng thành về mặt con người và về mặt nghiên cứu thế nào v.v), cái mà người ta chưa biết. Nói chung viết SOP rất khó, bạn nên tham khảo ý kiến của các anh chị NCS.

6) Kinh nghiệm nghiên cứu/Thư giới thiệu

Đây là thành phần quan trọng nhất trong hồ sơ của bạn. Chúng cho ban tuyển chọn thấy khả năng thành công của bạn trong nghiên cứu . Đây chính là điều mà họ mong muốn ở bạn nếu nhận bạn.

Muốn có kinh nghiệm nghiên cứu thì phải… nghiên cứu. Đầu tiên là tìm thày hướng dẫn, sau đó thì thày sẽ chỉ cho con đường đi thôi 🙂. Các thày ở Khoa Toán và ở Viện Toán đều rất giỏi và nhiệt tình.

Bạn có thể xin thư giới thiệu từ các GS mà bạn làm việc cùng, hoặc các GS dạy bạn trong một khóa học và có ấn tượng tốt về bạn. Thư giới thiệu trong trường hợp 1 tốt hơn, vì chúng nói về khả năng nghiên cứu của bạn. Nhưng thông thường chúng ta thường chỉ có 1-2 thư loại này. Thư loại 2 tuy không tốt bằng, nhưng cũng thể hiện được nhiều thứ: bạn thực sự yêu thích toán, bạn ‘ask good/right questions’ hoặc có thể giới thiệu chương trình bạn học (Cử nhân tài năng chẳng hạn) và thứ hạng của bạn trong lớp v.v

Một điều may mắn là ở khoa Toán các thày sẽ viết thư cho các bạn. Ở một số nơi, sinh viên phải tự viết thư sau đó đưa thày kí.

Nếu bạn có bài báo quốc tế thì quá tốt, không có thì cũng … ok. Quan trọng nhất vẫn là thư giới thiệu.  Nếu thư giới thiệu của bạn tốt thì cơ hội bạn được nhận sẽ rất cao.

*) Ngoài ra còn có nhiều thứ ảnh hưởng tới hồ sơ.

+) CV. Trình bày bằng latex cho chuyên nghiệp.

+) Quen biết Giáo sư. Không như các ngành khác, việc contact được GS bên Toán gần như là zero nếu như bạn không gặp GS ấy từ trước. Trong số các trường mình nộp, chỉ có Arizona và Chicago là mình quen các GS ở đó (cả hai đều là GS người Việt). Tuy mình chưa quyết đinh có làm cùng các GS này không,  các Thày vẫn giới thiệu mình với hội đồng tuyển chọn (đối với Chicago) và giới thiệu mình với các GS mình muốn làm cùng (đối với Arizona). Thật may mắn là cuối cùng được cả hai trường nhận.

Mình nghĩ các thày người Việt đều muốn giúp đỡ sinh viên Việt Nam sang học nên nếu các bạn nộp hồ sơ, có thể trình bày nguyện vọng với các Giáo sư này. Tuy nhiên phải hiểu rằng các thày rất bận, lại không biết bạn là ai (nếu chưa gặp, và không ai giới thiệu bạn trực tiếp tới GS đó), do đó nếu bạn không nhận được phản hổi, hãy hiểu tình huống của mình.

+) Writing sample. Có trường cho phép bạn gửi cả writing sample. Trong trường hợp này, khóa luận của bạn (bằng tiếng Anh, tất nhiên) có thể coi là một mẫu tốt.

+) May mắn. Tất nhiên rồi.

Quy trình nộp hồ sơ

Như mình đã nói ở phần đầu, hạn nộp ở các trường ở Mỹ rơi vào khoảng giữa tháng 12 tới đầu tháng 2. Họ sẽ cho phép bạn lập một tài khoản, sau đó bạn sẽ dùng tài khoản này để điền vào hồ sơ bao gồm: tên, học Đại học ở đâu, kết quả thế nào, ai là người sẽ gửi thư giới thiệu cho trường v.v. Bạn cũng phải yêu cầu ETS (là cơ quan tổ chức thi TOEFL và GRE) gửi điểm tới cho trường.  Nói chung thì công đoạn này khá đơn giản.  Tuy nhiên, bạn cũng phải nộp kha khá tiền cho việc nộp hồ sơ. Thông thường, bạn sẽ mất khoảng 40$ cho việc gửi điểm TOEFL và GRE, khoảng 80$ cho lệ phí nộp hồ sơ. Như vậy nếu bạn nộp cỡ khoảng 10 trường thì cũng mất khoảng 1200$, một con số khổng lồ với sinh viên Việt Nam. Ở Mỹ, có lẽ không có gì miễn phí. Bạn phải trả tiền cho cơ hội mình có thể nhận được. Nhưng bù lại, nếu được nhận thì chỉ trong vòng 1-2 tháng đầu tiên sau khi nhận học là bạn có thể ‘bù lại vốn’.  Mình biết có một anh phải thế chấp cả nhà để nộp qua Mỹ (quá khâm phục!). Sau khi qua được một thời gian thì trả được nợ. Mình không dám khuyên bạn gì cả, nhưng nếu bạn chấp nhận nộp hồ sơ, hãy cố gắng hết sức để xứng đáng với đồng tiền bỏ ra (trong nhiều trường hợp, là số tiền mà bố mẹ bạn phải rất vất vả mới kiếm được).  Một cách để giảm gánh nặng tài chính là xin học bổng VEF. Chi tiết bạn có thể xem tại http://home.vef.gov/.

Sau tầm 1-2 tháng, trường sẽ thông báo kết quả cho bạn. Nếu bạn được nhận, chúc mừng! Nếu không được, bạn vẫn còn cơ hội ở các trường khác. Có một số bạn sẽ vào danh sách đợi (waitlist); nghĩa là bạn chưa biết là mình có được hay không. Việc được hay không phụ thuộc vào việc có nhiều hay ít các bạn được nhận ở vòng đầu quyết định bỏ học bổng và qua chỗ khác học.  Vào đến waitlist thì việc duy nhất bạn làm là … đợi thôi.  Nói chung việc được hay không là rất khó đoán. Có nhiều bạn được trường rất tốt nhận nhưng lại bị đánh trượt bởi các trường nhỏ hơn. Việc duy nhất bạn có thể làm là nắm bắt từng cơ hội và hãy cố gắng hết mình. Sẽ vất vả, nhưng những gì bạn nhận được sẽ hoàn toàn xứng đáng với sự vất vả ấy.

Một số bài viết mình cho là hữu ích, các bạn có thể tham khảo.

1) Bài viết của GS Lê Tự Quốc Thắng về việc xin TA ở Mỹ.

thang

2) Bài viết của anh Huỳnh Quang Vũ, Đại học KHTN TPHCM.

http://www.math.hcmus.edu.vn/~hqvu/misc/scholarship-vi.html

3) Chia sẻ của GS Paul Garret về việc tuyển chọn ứng viên.

https://academia.stackexchange.com/questions/2544/how-does-a-graduate-programs-admissions-committee-operate

4) Chia sẻ của GS Paul Garret về việc có bài báo khi nộp hồ sơ.

https://academia.stackexchange.com/questions/10747/what-percentage-of-stem-phd-applicants-have-peer-reviewed-publications

Nguyễn Thọ Tùng

28/5/2014.